Denne artikel vil undersøge, hvad der er ortonormalt grundlag af en matrix og hvordan man finder dem i MATLAB ved hjælp af orth() fungere.
Hvad er det ortonormale grundlag for en matrix
I lineær algebra er ortonormalt grundlag af et vektorrum V med en endelig dimension er grundlaget med ortonormale vektorer hvor er ortonormale vektorer er enhedsvektorerne, der er ortogonale i forhold til hinanden, hvilket er deres prikprodukt er nul.
Overvej to-enhedsvektorer x og y, de vil være ortogonale i forhold til hinanden, hvis 'x.y=0' . Disse to vektorer kaldes også ortonormale vektorer .
Hvorfor skal vi beregne ortonormalt grundlag
Et ortonormalt grundlag er nyttig i forhold til at finde projektionen af en vektor på en anden vektor eller finde afstanden mellem de to vektorer. Vi kan også bruge en ortonormalt grundlag at reducere afrundingsfejlen i vores simuleringer, og den eneste grund til dette er, at vektorerne i en ortonormal basis er uafhængige af hinanden, således at en fejl i en vektor ikke kan forplante sig til andre vektorer. Yderligere er det meget lettere at finde koordinater og udføre lineær transformation, hvis vores basis er ortonormal.
Hvordan finder man det ortonormale grundlag for en matrix i MATLAB?
I MATLAB kan vi finde ortonormalt grundlag ved hjælp af den indbyggede orth() funktion, der er ansvarlig for at bestemme ortonormalt grundlag af en given matrix. Denne funktion accepterer en matrix som en obligatorisk parameter og giver en matrix som et output, der indeholder ortonormalt grundlag af den givne inputmatrix.
Syntaks
Det orth() funktion kan implementeres i MATLAB gennem følgende syntakser:
Q = orth ( A,tol )
Her,
- Funktionen Q = ort(A) er ansvarlig for at bestemme ortonormalt grundlag for området A, hvor kolonner af outputmatrix Q repræsenterer ortonormalt grundlag af matrix A, og de spammer rækken af matrix A. Rangen af A er også lig med antallet af kolonner i Q.
- Funktionen Q = orth(A,tol) er ansvarlig for at bestemme ortonormalt grundlag for området A, der angiver tolerancen. Inputmatrix A's entalsværdier, som er mindre end tolerance, behandles som nul ved at påvirke antallet af kolonner i Q.
Eksempel 1: Hvordan finder man ortonormalt grundlag for en fuldrangsmatrix i MATLAB?
Denne MATLAB-kode bestemmer ortonormalt grundlag af den givne kvadratiske matrix A med størrelsen n=3 ved brug af orth() fungere. Denne kode finder også rangeringen af en matrix A ved hjælp af rang() funktion til at verificere, at inputmatrixen er fuld rang.
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = rang ( EN )
Q = orth ( EN )
Eksempel 2: Hvordan beregner man det ortonormale grundlag for en rangeringsdeficient matrix i MATLAB?
I dette eksempel bruger vi orth() funktion til at finde ortonormalt grundlag af den givne rang-deficiente matrix A. Matrixen A er rang-deficient, fordi rang(K)
r = rang ( EN )
Q = orth ( EN )
Eksempel 3: Hvordan finder man ortonormal basis for en fuldrangsmatrix ved at specificere tolerance i MATLAB?
Det givne eksempel beregner ortonormalt grundlag af den givne kvadratiske matrix A med fuld rang, der har størrelse n=3 bruger orth() funktion med standardtolerance. Da A er en fuld rang matrix, er størrelsen af A og Q (ortogonalt grundlag) er det samme, hvilket er 3×3 i dette tilfælde. Eksemplet beregner derefter ortonormalt grundlag af A ved at angive værdien af tolerance 0,5 for at betragte værdierne af A, der er mindre end 0,5, som entalsværdier. Der er tre entalsværdier i A, så A har to ortonormale kolonnevektorer som indeholdt i Qtol matrix.
A = rand ( 3 ) ;r = rang ( EN )
Q = orth ( EN )
Q_tol = orth ( EN, 0,5 )
Konklusion
At finde ortonormalt grundlag af et vektorrum er et vigtigt koncept for lineær algebra, der er et kompliceret matematisk problem. Det kan dog løses nemt og effektivt ved at bruge MATLAB’s indbyggede orth() fungere. Denne artikel har præsenteret implementeringen af denne funktion ved hjælp af forskellige syntakser og eksempler.